בגרות קיץ 2025 מועד ב' · שאלה 2 – גאומטרייה אנליטית: משולש ישר זווית ABC3 יחידות 372 · שיעור 22
📄 נוסח השאלה
נתון משולש ישר זווית ABC (הזווית B ישרה). הקודקודים A ו־C נמצאים על ציר ה־y, כמתואר בסרטוט.
משוואת הצלע AB היא y = −45x + 24.
א. מצאו את שיעורי הקודקוד A.
נתון: C(0 , −17).
ב. (1) מצאו את משוואת הצלע BC.
📄 נוסח השאלה · המשך
(2) מצאו את שיעורי הקודקוד B.
הנקודה E היא אמצע הצלע AB.
ג. מצאו את שיעורי הנקודה E.
הנקודה K היא נקודת החיתוך של הצלע BC עם ציר ה־x.
ד. (1) מצאו את שיעורי הנקודה K.
📄 נוסח השאלה · המשך
(2) מצאו את שטח המשולש EBK.
סעיף א – שיעורי A
A על ציר ה־y, ולכן x = 0. נציב במשוואת AB:
📐 כלל: נקודה על ציר ה־y
y = −45x + 24
נציב x = 0:
y = −45 · 0 + 24 = 24
A(0 , 24)
✅ פתרון סופי: A(0 , 24)
📐 כלל: נקודה על ציר ה־y
x = 0
סעיף ב (1) – משוואת BC
שיפוע AB:
📐 כלל: שיפוע מתוך משוואת ישר
mAB = −45
הזווית B ישרה, ולכן BC מאונכת ל־AB ומכפלת השיפועים היא −1:
📐 כלל: ישרים מאונכים
mAB · mBC = −1
נציב mAB = −45:
−45 · mBC = −1
📐 כלל: שיפוע מתוך משוואת ישר
y = mx + n
המקדם של x הוא השיפוע m
המקדם של x הוא השיפוע m
📐 כלל: ישרים מאונכים
m1 · m2 = −1
סעיף ב (1) – משוואת BC · המשך
−45 · mBC = −1
mBC = 54
הישר BC עובר דרך C(0 , −17):
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y1 = m(x − x1)
נציב m = 54 , C = (0 , −17):
y − (−17) = 54(x − 0)
📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
y − y1 = m(x − x1)
סעיף ב (1) – משוואת BC · המשך
y − (−17) = 54(x − 0)
y = 54x − 17
✅ פתרון סופי: y = 54x − 17
סעיף ב (2) – שיעורי B
B היא נקודת המפגש של AB ו־BC. נשווה:
📐 כלל: מפגש שני ישרים
−45x + 24 = 54x − 17
נכפול את שני האגפים ב־20 כדי להיפטר מהשברים:
−16x + 480 = 25x − 340
480 + 340 = 25x + 16x
820 = 41x
📐 כלל: מפגש שני ישרים
פותרים את מערכת שתי המשוואות
סעיף ב (2) – שיעורי B · המשך
820 = 41x
x = 20
y = −45x + 24
נציב x = 20:
y = −45 · 20 + 24
y = −16 + 24 = 8
סעיף ב (2) – שיעורי B · המשך
y = −16 + 24 = 8
B(20 , 8)
✅ פתרון סופי: B(20 , 8)
סעיף ג – שיעורי E
E אמצע AB, כאשר A(0 , 24) ו־B(20 , 8):
📐 נוסחה: אמצע קטע
xE = xA + xB2
xE = 0 + 202 = 10
yE = yA + yB2
yE = 24 + 82 = 16
E(10 , 16)
📐 נוסחה: אמצע קטע
xM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
סעיף ג – שיעורי E · המשך
E(10 , 16)
✅ פתרון סופי: E(10 , 16)
סעיף ד (1) – שיעורי K
K על ציר ה־x, ולכן y = 0. נציב במשוואת BC:
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
y = 54x − 17
0 = 54x − 17
54x = 17
x = 17 · 45 = 13.6
K(13.6 , 0)
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
y = 0
סעיף ד (1) – שיעורי K · המשך
K(13.6 , 0)
✅ פתרון סופי: K(13.6 , 0)
סעיף ד (2) – שטח המשולש EBK
E על הצלע AB ו־K על הצלע BC, והזווית B ישרה. לכן המשולש EBK ישר זווית ב־B, והניצבים שלו הם EB ו־BK.
📐 נוסחה: שטח משולש ישר זווית
נחשב את אורכי הניצבים:
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות
EB = √((xB − xE)2 + (yB − yE)2)
נציב B = (20 , 8) , E = (10 , 16):
EB = √((20 − 10)2 + (8 − 16)2)
EB = √(100 + 64) = √164
📐 נוסחה: שטח משולש ישר זווית
S = ניצב · ניצב2
📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודות
d = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
סעיף ד (2) – שטח המשולש EBK · המשך
EB = √(100 + 64) = √164
BK = √((xB − xK)2 + (yB − yK)2)
נציב B = (20 , 8) , K = (13.6 , 0):
BK = √((20 − 13.6)2 + (8 − 0)2)
BK = √(40.96 + 64) = √104.96
S = EB · BK2
סעיף ד (2) – שטח המשולש EBK · המשך
S = EB · BK2
נציב EB = √164 , BK = √104.96:
S = √164 · √104.962
S = √17213.442 = 131.22 = 65.6
✅ פתרון סופי: שטח המשולש 65.6 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות
א
A(0 , 24)
ב (1)
y = 54x − 17
ב (2)
B(20 , 8)
ג
E(10 , 16)
ד (1)
K(13.6 , 0)
ד (2)
65.6
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא